L’inverno trascorso, uno tra i più piovosi degli ultimi due secoli (La Repubblica, 20 marzo 2010), è stato caratterizzato da frequenti notizie sul succedersi di frane, alluvioni e di vari fenomeni di dissesto idrogeologico che hanno causato diverse decine di morti e di cui Messina (1 ottobre 2009) è stato l’esempio più eclatante. Le piogge intense, per la quantità caduta in un breve lasso di tempo o per la durata del fenomeno, costituiscono per l’Italia una seria ragione di allarme. Tra i fattori naturali che predispongono il nostro territorio a frane ed alluvioni rientra senza dubbio la conformazione geologica e geomorfologica del territorio. Come si leggeva sul Corriere della Sera l’11 febbraio scorso, i comuni interessati da fenomeni franosi sono 5600 su 8000; 480 000 sono le frane registrate negli ultimi 50 anni; 2500 i punti critici o a rischio sulla rete ferroviaria e stradale; 180 le frane registrate nella sola Calabria nei giorni precedenti la frana di Maierato (febbraio 2010). Dettagli più precisi sulla situazione italiana si possono trovare in una pubblicazione del Dipartimento della Protezione Civile stilata nel 2008: ECOSISTEMA RISCHIO 2008 - Monitoraggio sulle attività delle amministrazioni comunali per la mitigazione del rischio idrogeologico.

La Direttiva Comunitaria sulla valutazione e gestione del rischio di alluvione 2007/60/CE impone agli stati membri l’adeguamento della pianificazione di bacino, facendo leva sulle «migliori pratiche» e sulle «migliori tecnologie disponibili». Università e Enti Pubblici di Ricerca sono spesso coinvolti, a fianco delle autorità regionali, non solo in progetti di intervento e salvaguardia di aree a rischio, ma anche in studi scientifici finalizzati alla comprensione dell’azione delle piogge sul territorio, tenendo conto dell’uso, della conformazione geologica e geomorfologica e dell’eventuale cambiamento climatico. A tali studi, che richiedono naturalmente approfondite conoscenze di tipo geologico, anche la statistica può dare qualche contributo. Uno di questi riguarda lo studio degli eventi estremi, che si prefigge di stabilire quanto le piogge che hanno causato, per esempio, l’alluvione di Messina siano state davvero eccezionali rispetto all’andamento pluviometrico stagionale tipico di quella zona.

In ingegneria idraulica, idrologia, geologia, si ricorre spesso al termine “tempo di ritorno” di un evento per valutarne il grado di eccezionalità. Possiamo chiederci, cioè, tra quanti anni, mediamente, un evento come i 144 mm di pioggia in 48 ore misurati durante l’alluvione di Sarno del 1998, che fece 137 morti, potrebbe ripetersi nella stessa zona. Per rispondere a tale quesito occorrono le serie storiche dei dati di piovosità giornaliera della zona di interesse (spesso raccolte negli Annali Idrologici, pubblicati nel passato dal Servizio Idrografico e Mareografico Italiano e dalle Regioni negli anni più recenti). Per studiare l’eccezionalità degli eventi di pioggia più intensi si può selezionare, dalla mole dei dati di ogni anno, il massimo valore di pioggia giornaliera e, quindi, analizzare i tempi di ritorno dei valori più alti tra i massimi annui. Si può anche calcolare il valore che ci si aspetta di osservare mediamente una volta ogni 10, 20, 50 o 100 anni. E, ancora, la probabilità con cui tale valore sarà davvero osservato. La Teoria degli Eventi Estremi si propone di rispondere ai diversi interrogativi sull’eccezionalità degli eventi calcolando le stime per i valori cercati e, contemporaneamente, valutandone l’errore (tramite intervalli di confidenza), poiché l’accuratezza delle stime è fondamentale per la progettazione di strutture quali ponti o dighe. La distribuzione di probabilità che viene utilizzata nell’analisi degli eventi estremi è detta proprio distribuzione generalizzata degli eventi estremi, dove l’aggettivo “generalizzata” si riferisce al fatto che si tratta di una classe ampia di distribuzioni, tra cui il modello classico di Gumbel, il primo statistico ad attirare l’attenzione di ingegneri e statistici sulle possibili applicazioni delle teoria degli eventi estremi. Negli Stati Uniti le prime applicazioni riguardano proprio le portate di piena ed i massimi di precipitazione e risalgono al 1941.

Nel seguito si illustreranno tramite un esempio i risultati che si possono ottenere applicando tale teoria, senza entrare nei dettagli matematici delle formule per il calcolo del tempo di ritorno di un evento (cioè del tempo medio di attesa del ripetersi di quell’evento) o del livello di ritorno ad un dato tempo T (cioè dell’evento estremo che ci si attende si ripeterà entro T anni).



Figura 1. Fonte: Regione Autonoma della Sardegna (http://www.regione.sardegna.it/docu...)

In particolare, si farà riferimento all’alluvione di Capoterra (Sardegna) del 22 ottobre 2008 quando più di 300 mm sono piovuti sulla città in soltanto tre ore causando danni ingenti (cfr. http://www.regione.sardegna.it/j/v/...). La peculiarità di questo evento risulta evidente anche dal fatto che nelle tre stazioni attive, e molto vicine, di Capoterra (paese), Capoterra Poggio dei Pini e Santa Lucia di Capoterra, sono stati registrati valori molto diversi: 465.2 mm, 379 mm e 276.4 mm in 24h rispettivamente. A quell’episodio, inoltre, sono seguiti nell’arco del mese successivo altri due eventi alluvionali: l’area colpita complessivamente è illustrata in Figura 1.

Il massimo assoluto rilevato a Capoterra (paese) nel periodo 1951-2000 [1] è di 195 mm: di molto inferiore all’evento del 22 ottobre 2008, esso supera di circa 50 mm il secondo valore più alto e, pertanto, si configura a sua volta come un evento estremo. Questo semplice confronto può già rendere l’idea dell’eccezionalità dell’evento del 2008. Analizzando i dati di massimo annuo precedenti il 2008 tramite una distribuzione generalizzata degli eventi estremi, il tempo di ritorno stimato per un evento di 379 mm giornalieri (il valore intermedio tra i 3 misurati) risulta essere di ben 868 anni! Tuttavia, questa stima è anche molto incerta e tale incertezza è rappresentata dall’intervallo di confidenza del livello di ritorno a 868 anni, che colloca il “vero” (e sconosciuto) valore di pioggia giornaliera attesa ogni 868 anni tra 193.3 mm e ben 1617.0 mm. Uno spettro così largo è dovuto proprio alla differenza tra la lunghezza del periodo osservato (50 anni), su cui è calcolata la stima, e la lunghezza del tempo di ritorno considerato. Sembrerebbe, allora, che non fosse possibile “prevedere” col modello il verificarsi di un cumulato di pioggia giornaliera così elevato. Ma qualche indizio c’era. Infatti, lo stesso modello ci dice che il valore atteso ogni 50 anni (periodo comparabile con quello osservato) è, sì, di “soli” 178 mm, ma, ragionando in termini di incertezza, si vede che il “vero” (e sconosciuto) valore di pioggia giornaliera attesa ogni 50 anni varia tra 129 mm e 353 mm, valore quest’ultimo di poco inferiore a quello osservato. Se considerassimo un lasso di 60 anni (con solo una piccola estrapolazione, quindi), il valore di 379 mm rientrerebbe perfettamente nell’intervallo di confidenza. Così, se da un lato quell’evento non poteva essere previsto con il solo supporto della statistica (nemmeno i modelli deterministici dell’atmosfera riescono a prevedere con sufficiente anticipo la portata di eventi ciclonici di quel genere), esso, perlomeno, non poteva essere escluso. Infine, il verificarsi di tale evento estremo permette di aggiornare i risultati per tenerne conto in futuro. Se, infatti, includiamo l’evento del 2008 nell’insieme dei dati da cui stimare il modello, otteniamo una stima del tempo di ritorno di 175 anni, che è molto più bassa degli 868 anni ottenuti in precedenza: il verificarsi di un valore così elevato crea una sorta di precedente, che rende più probabile il verificarsi di altri eventi simili.

Stime ancora più precise si possono ottenere sfruttando meglio l’informazione a disposizione. Se si isola solo, come fatto qui, il valore più alto osservato in un anno, si ignora l’informazione riguardante il verificarsi nello stesso anno di altri eventi intensi, magari di portata solo leggermente inferiore. La teoria degli eventi estremi permette di analizzare anche tutti i valori annui al di sopra di una data soglia, ma per brevità non ne discuteremo oltre.

Concludiamo, invece, questa carrellata di risultati osservando come in una nota dell’Assessorato dei Lavori Pubblici della Regione Autonoma della Sardegna venga indicato un tempo di ritorno “ > 10 000 anni”! Questo risultato è stato ottenuto applicando una variante della Teoria degli Eventi Estremi, introdotta nello studio delle portate di piena e nota come distribuzione TCEV (Rossi et al., 1984), secondo i risultati pubblicati da Deidda & Piga (1998). In questo caso però, l’approccio TCEV viene applicato ben oltre i suoi limiti di impiego, chiaramente indicati in T da 2 a 1000 anni nel Riepilogo sintetico disponibile on-line (http://www.unica.it/~rdeidda/ , Download area, materiale n.ro 1) e, pertanto, tale risultato è scarsamente affidabile e quindi inutile, come si può intuire sulla base dei ragionamenti precedentemente espressi.

La Teoria degli Eventi Estremi è, in sintesi, uno strumento efficiente, teoricamente ben fondato. Come tutti i modelli (intendendo con questo termine le rappresentazioni semplificate di un fenomeno), necessita sicuramente di attenzione nella scelta del metodo specifico, anche sulla base dei dati a disposizione, ma, pur di usare semplici attenzioni, permette di ricavare informazioni importanti dagli eventi studiati.

Nota.

L’esposizione della Teoria degli Eventi Estremi è basata essenzialmente sui lavori di Stuart Coles e suoi co-autori (si veda, per esempio, Coles 2001), ma errori ed omissioni sono da imputare solamente a chi scrive, così come lo sono i risultati esposti sull’analisi dei dati di Capoterra.

Per saperne di più

Coles S. (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer-Verlag, Londra.

Deidda R., Piga E. (1998) Curve di possibilità pluviometrica basate sul modello TCEV, Informazione, vol. 81, pp. 9-14.

Rossi F., Fiorentino M., Versace P. (1984) Two-component extreme value distribution for flood frequency analysis, Water Resources Research, vol. 20, pp. 847-856.