Le “ondine” o wavelets sono funzioni matematiche utilizzate in vari campi e discipline. Sono ottenute per traslazione e dilatazione di una funzione base detta wavelet mother, caratterizzata da una forma d’onda oscillante che decade velocemente a zero. Come le funzioni seno e coseno nell’analisi di Fourier, le wavelets sono usate come funzioni di base per rappresentare altre funzioni.

La loro proprietà più importante riguarda la localizzazione tempo-frequenza (o tempo-scala). Infatti, la trasformata wavelet permette di analizzare un segnale nelle sue diverse componenti di frequenza utilizzando “finestre” (o filtri) di lunghezza variabile: finestre piccole per “catturare” il contenuto di alta frequenza garantendo una buona localizzazione temporale; finestre grandi per “catturare” il contenuto in bassa frequenza garantendo buona risoluzione frequenziale. Riprendendo una metafora utilizzata da alcuni autori … “il risultato dell’analisi wavelet è vedere sia il bosco che gli alberi”. La localizzazione nel tempo e in frequenza permette, inoltre, di analizzare segnali non stazionari e di identificare punti di stazionarietà o singolarità, superando le limitazioni dell’analisi di Fourier.

Sebbene la loro nascita risalga a circa un secolo fa, soltanto negli ultimi decenni le wavelets sono state prese in considerazione nell’ambito di numerose applicazioni come strumento alternativo all’analisi di Fourier. Infatti, esse compaiono per la prima volta nel 1910 nell’appendice della tesi del matematico ungherese Alfred Haar, ma il loro sviluppo è stato molto lento fino agli anni ‘80 quando il geofisico Jean Morlet, nell’ambito di un lavoro per una compagnia petrolifera, propose un nuovo modo di analizzare i segnali sismici introducendo la trasformata wavelet continua. Nel lavoro di Morlet e Grossman del 1983 compare per la prima volta la parola “ondina” (ondelette in francese, tradotta poi in wavelet e la teoria delle wavelets viene presto approfondita e divulgata con importanti lavori come ad esempio quello di Ingrid Daubechies del 1992. Da quegli anni in poi si è avuta un’esplosione di attività scientifica in diversi campi come quello della matematica, della fisica quantistica, dell’ingegneria elettronica, della geologia, ecc. . Gli interscambi tra questi settori hanno portato da allora a molte nuove applicazioni.

Ricordiamo per esempio il successo delle wavelets per la compressione di immagini: l’FBI le utilizza dal 1993 per l’archiviazione delle impronte digitali e l’attuale formato jpeg2k (basato sulle trasformate wavelets) è uno dei più utilizzati in internet in quanto consente di raggiungere una compressione ottimale per immagini di alta qualità. Altre importanti applicazioni riguardano la ricostruzione di segnali con dati incompleti o rumorosi (denoising) e l’identificazione di componenti trend e di auto-similarità in serie storiche economiche, geofisiche ed ambientali.

Un’ondina per ogni applicazione ...

Mentre nell’analisi di Fourier le funzioni di base sono fornite dalle ben note funzioni seno e coseno, l’analisi wavelets offre una vasta gamma di funzioni: discrete o continue, con o senza supporto compatto, ortogonali o non ortogonali, con una funzione matematica semplice o complessa, con diversi gradi di differenziabilità, wavelets direzionali, etc.

Oltre a queste funzioni, ne esistono tante altre, denominate in modo diverso a seconda della caratteristica che vogliono evidenziare. Si chiamano ridgelets, curvelets, sheerlets, ecc.

Diventa quindi difficile muoversi in questo “mare di onde” e scegliere la tipologia di wavelet che meglio è in grado di descrivere il nostro fenomeno. Sebbene il problema della scelta della wavelet “ottimale” sia stato ampiamente affrontato in letteratura, la maggior parte degli autori tende a concentrarsi sulle tipologie offerte dai tradizionali software matematici o statistici, e il problema della scelta ricade spesso su un numero ristretto di funzioni (per esempio, le wavelet Daubechies, Symmlets e Coiflets risultano le più implementate).

In questa discussione vogliamo mettere in evidenza come la conoscenza delle caratteristiche fisiche e statistiche del fenomeno da analizzare, congiuntamente agli obiettivi che si intendono raggiungere, siano fondamentali per una corretta scelta della tipologia di wavelet.

Alcune indicazioni generiche possono essere fornite da risultati scientifici o da evidenze empiriche passate (è noto, per esempio, che le wavelets con un alto numero di momenti nulli sono particolarmente adatte a identificare i punti di singolarità o discontinuità in un segnale), ma non vi è ancora una risposta alla domanda “qual è la miglior wavelet per risolvere un determinato problema?”

Per dare un’idea di come la conoscenza del fenomeno e l’obiettivo dell’analisi siano determinanti nella scelta della funzione wavelet, riportiamo di seguito un paio di esempi.

Esempio 1: wavelets direzionali per identificare le principali direzioni di crescita e diffusione spaziale di alcune specie di piante

In questo esempio consideriamo le wavelets Morlet direzionali per identificare le direzioni lungo cui alcune tipologie di dati spaziali tendono ad aggregarsi. Tali wavelets sono caratterizzate da un angolo che indica la direzione spaziale, oltre che dai classici parametri di scala e traslazione. Un esempio di wavelet direzionale è rappresentato in Fig. 1.



Figura 1. wavelet Morlet direzionale con un angolo di 45 gradi.

Consideriamo ad esempio i dati puntuali relativi alla localizzazione dell’Ambrosia Dumosa rilevati nel Joshua Tree National Park in California e rappresentati in Fig. 2a. L’Ambrosia Dumosa è una pianta che cresce abbondante su terreni aridi e produce un polline che provoca forti allergie. Da studi precedenti si pensa che queste piante tendano ad aggregarsi lungo determinate direzioni, mostrando una significativa correlazione tra piante giovani e piante vecchie. Osservando la mappa che descrive la localizzazione spaziale risulta veramente difficile distinguere le principali direzioni che caratterizzano la loro diffusione. Le wavelet direzionali forniscono, invece, uno strumento semplice ed efficace per identificare la presenza di strutture direzionali nei dati. Dalla Fig. 2b, che rappresenta l’energia del segnale puntuale (data dalla somma dei quadrati dei coefficienti wavelets) per determinati angoli (sull’asse delle ascisse) e scale di risoluzione (sull’asse delle ordinate), si notano valori molto alti in corrispondenza degli angoli 160-170 (gradi) e nelle scale di risoluzione 15-30. Questo significa che i dati tendono ad allinearsi lungo queste direzioni con una dispersione che dipende dalle suddette scale di risoluzione. Infatti, la rappresentazione dei coefficienti wavelets in corrispondenza del massimo valore dell’energia, ossia dell’angolo 164° e della scala di risoluzione 25, consente di localizzare la direzione dominante nei dati. Tale direzione è segnalata dai valori in rosso sul grafico dei coefficienti wavelets in Fig. 2c.

 Figura 2. (a) Distribuzione dei dati di Ambrosia Dumosa; (b) Energia dei dati puntuali in corrispondenza degli angoli 0-180 e dei livelli di risoluzione 15-50; (c) coefficienti wavelet per l’angolo 164 e il livello di risoluzione 25 (i punti in nero rappresentano i dati originali della distribuzione dell’Ambrosia Dumosa).

Ulteriori risultati a conferma dell’efficacia del metodo si trovano nel lavoro di Mateu and Nicolis (2010). In questo esempio, l’applicazione della tradizionale trasformata wavelet discreta (basata per esempio su wavelets Daubechies, Symmlets, Coiflets, ecc.) non sarebbe stata in grado di identificare precisamente la struttura direzionale presente nei dati in quanto i suoi coefficienti vengono determinati soltanto in tre direzioni: orizzontale, verticale e diagonale. Le wavelets direzionali possono essere impiegate per lo studio di tutti quei fenomeni che sono caratterizzati da aggregazioni direzionali spaziali. L’applicazione, per esempio, ai dati sismici permette di stimare la direzione di propagazione delle scosse.

Esempio 2: wavelets discrete per la classificazione delle mammografie

Questo esempio, ripreso dal lavoro di Nicolis et al. (2009) vuole mostrare come alcuni indicatori statistici basati sulle trasformate wavelets discrete possano essere utilizzati per identificare la presenza di tumore maligno al seno. La tecnica si basa sulla stima di coefficienti di auto-similarità (o parametri di Hurst) determinati in tre direzioni diverse (orizzontale, verticale e diagonale) mediante la regressione wavelet e l’applicazione di semplici metodi di classificazione. Le mammografie utilizzate in questo lavoro provengono dal database digitale dell’ University of South Florida (http://marathon.csee.usf.edu/Mammog...). Un esempio di queste immagini è riportato in Fig. 3: la mammografia a sinistra mostra il seno di una donna sana di 47 anni mentre la mammografia a destra mostra il seno con un tumore maligno (con una calcificazione pleomorfica aggregata) di una donna di 67 anni.



Figura 3. La mammografia normale (a sinistra) e mammografia con tumore maligno (a destra).

Da precedenti studi risulta che le immagini delle mammografie sono caratterizzate da strutture auto-similari con parametri di Hurst (o di “regolarità”) più alti per i tessuti malati e più bassi per quelli normali. Non risulta, invece, particolarmente significativa la presenza di strutture direzionali nei tessuti per discriminare un seno malato da quello sano.

L’applicazione di semplici modelli di classificazione (lineare e quadratici) ai parametri di Hurst stimati con il metodo della regressione wavelet consente di classificare “correttamente” le mammografie (in normali e tumorali) in circa l’85% dei casi (vedi Nicolis et al. 2009) costituendo un utile strumento di supporto alla diagnostica della malattia.

A differenza dell’esempio precedente in cui l’obiettivo principale era quello di stimare le principali direzioni di aggregazione dei dati, lo scopo primario di questa applicazione è di vedere se il coefficiente di auto-similarità sia sufficientemente alto da segnalare la presenza della malattia nel seno. Quindi, in questo caso, la trasformata wavelet discreta fornisce uno strumento veloce ed efficace per evidenziare le proprietà di auto-similarità nei dati a differenza delle wavelets direzionali, che comporterebbero un carico computazionale maggiore senza un significativo miglioramento nella performance.

Molti altri esempi possono essere impiegati per mostrare come un’attenta analisi della problematica in esame sia fondamentale per scegliere la “migliore wavelet”.

Per saperne di più

Daubechies, I. (1992) Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia.

Mateu J. ,Nicolis O. (2010) Multiresolution Analysis of Spatial Point Processes for Detecting Linear Patterns. Manoscritto..

Nicolis O., Ramirez P. Vidakovic, B. (2009) 2-D wavelet-Based Spectra with Applications. Manoscritto.

L’autore

Orietta Nicolis

Orietta Nicolis è ricercatrice di Statistica presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Bergamo